MATEMATIKA KOMPUTASI

MATEMATIKA, KOMPUTASI DAN KOMPUTER

1.   Matematika : Apakah itu?

Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia, matematika adalah “ilmu tentang bilangan-bilangan, hubungan antara bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan dalam penyelesaian masalah mengenai bilangan”.  Kalimat ini bukan rumusan yang tepat, sekalipun dapat dikatakan memadai untuk dicantumkan dalam kamus. Ada cabang matematika yang tidak langsung berurusan dengan bilangan, misalnya geometri, topologi, teori graf serta logika.

Dalam naskah ini matematika didefinisikan sebagai ilmu tentang pernyataan-pernyataan, serta syarat-syarat yang diperlukan agar sebuah pernyataan adalah benar.  Dalam matematika diuji kebenaran sebuah pernyataan, diteliti makna atau implikasi dari setiap kata yang terdapat didalamnya, serta dicoba dikembangkan pernyataan-pernyataan lain yang berkaitan. Pernyataan itu dapat mengenai apa saja, yang oleh para matematikawan dipilih sebagai obyek-obyek yang pantas diteliti dan dicermati. Salah satu obyek yang menarik adalah, tentu saja, bilangan.  Ternyata ada aneka ragam bilangan, baik yang asli, maupun yang tidak asli. Ternyata ada bilangan yang memiliki ciri istimewa, yang lalu disebut bilangan prima. Studi mengenai hal ini sangat penting tidak hanya dalam matematika, namun juga dalam teknik komputer. 

Obyek menarik lain terdapat dalam geometri, misalnya titik, garis, bidang, serta bentuk yang dapat muncul daripadanya, seperti segitiga, lingkaran, elips, kubus, bola, kerucut, piramida, dan lain-lain. Sangatlah terkenal pernyataan Pythagoras, bahwa dalam segitiga siku-siku, luas bujur sangkar pada hipotenusa (sisi miring) sama dengan jumlah luas bujur sangkar kedua sisi lainnya.

Dalam studi tentang bentuk-bentuk dalam geometri, muncul secara alami konsep-konsep seperti panjang, luas, isi, berat dan titik berat.  Daripadanya berkembang konsep tentang satuan, besaran dan fungsi.

Obyek menarik lain bagi para matematikawan adalah himpunan, serta hubungan antara berbagai himpunan.  Studi mengenai hal ini telah menghasilkan aneka manfaat praktis, serta mengarahkan matematikawan kepada aneka persoalan sangat mendasar, bahkan sering bersifat abstrak, mengenai matematika serta pondasi yang diatasnya terdapat bangunan yang sekarang disebut matematika. Apapun  yang dipelajari dan dilakukan, semua kembali kepada usaha untuk membuat sekurang-kurangnya sebuah pernyataan yang dapat dipertanggung-jawabkan.

Pernyataan akan diterima sebagai pernyataan yang benar, jika kepadanya dapat diberikan (sekurang-kurangnya) sebuah bukti yang meyakinkan, yaitu argumentasi atau deretan kalimat yang rapi, runtut dan masuk akal, yang daripadanya tidak ada keragu-raguan lagi mengenai kebenaran dari teorema yang dibahas.

Pernyataan yang kebenarannya tidak pernah diragukan, namun tidak pernah diberikan buktinya, disebut aksioma. Pernyataan yang kebenarannya telah dijamin sekurang-kurangnya oleh sebuah bukti meyakinkan disebut teorema atau lemma.  Beda antara teorema dan lemma tidak perlu dibahas disini. Misalnya, pada bagian awal dari buku klasiknya yang berjudul “Grundlage der Geometrie”, David Hilbert menuliskan aksioma-aksioma tentang titik, garis dan bidang.  Dari aksioma-aksioma itu ia berhasil membuktikan semua teorema penting dalam geometri.  – Itulah contoh konkrit sebuah matematika.

Matematika dan logika.  Matematika biasanya diletakkan dalam kategori yang sama dengan logika, yang merupakan cabang dari filsafat. Filsafat itu sendiri dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia diterangkan sebagai “pengetahuan dan penyelidikan dengan akal budi mengenai hakekat segala yang ada, sebab, asal dan hukumnya” -- scientia rerum per causas ultimas.  Menurut Bertrand Russel, logika adalah masa kakak-kanak dari matematika.

Matematika dan fisika.  Matematika juga biasanya diletakkan dalam kategori yang sama dengan fisika, yang masa kanak-kanaknya disebut kosmologi, yang merupakan cabang dari filsafat juga.  Dalam fisika dipelajari obyek alam (benda), dan atas obyek itu dicoba dibuat pernyataan-pernyataan yang benar, yang sekarang biasa disebut hukum-hukum alam atau hukum-hukum fisika.  (Dalam naskah ini kimia diperlakukan sebagai bagian yang tak terpisahkan dari fisika).

Adakah beda nyata antara teorema (dalam matematika) dan hukum (dalam fisika)?  Salah satu perbedaan adalah dalam pembuktian atas kebenarannya. Teorema dibuktikan melalui argumentasi, sedang hukum dalam fisika dibuktikan melalui eksperimen atau pengamatan. 

Perbedaan lain nyata dalam sifat penelitian yang dilakukan atas teorema dan hukum.  Hukum dikaji, dan dicoba dirumuskan kembali, dalam konteks gejala-gejala alam yang disadari, atau sekurang-kurangnya dicurigai, mengandung fakta baru, agar hukum dapat dirumuskan kembali menjadi bersifat mencakup fakta baru tersebut serta memiliki ciri universal, yaitu berlaku dimana saja dan kapan saja. Penelitian umumnya dikaji dalam pola pemikiran yang induktif.

Teorema pun dikaji dengan sasaran serupa. Tetapi teorema sering diungkapkan berdasarkan n buah asumsi: “jika n buah asumsi A₁, A₂, ... A_n ini benar, maka pernyataan P adalah benar”. Apakah cacah asumsi dapat dikurangi, sehingga dapat dirumuskan teorema tanpa asumsi (misalnya)?  Jika teorema bertolak dari sebuah asumsi yang sangat ketat, dapatkah asumsi yang ketat itu diperlunak, tanpa mengubah materi dalam teorema?  -- Penelitian umumnya bersifat kajian deduktif dan diarahkan kepada pembentukan sistem matematika yang utuh: logis, konsisten dan efisen (bermanfaat).

2.  Matematika : sarana pemodelan bagi para teknisi

Dalam naskah ini yang dimaksudkan dengan para teknisi adalah mereka yang hidup dengan melakukan kegiatan ada dalam bidang ilmu-ilmu teknik, yaitu mereka perhatiannya adalah kepada upaya penyelesaian atas persoalan-persoalan nyata dalam masyarakat.  Persoalan itu dapat berupa perencanaan bangunan gedung, atau pengadaan prasarana telekomunikasi yang menjangkau sejumlah penghuni dalam sebuah kawasan. Salah satu persoalan nyata dewasa ini adalah nilai rupiah. Langkah-langkah tepat apakah yang harus dilakukan agar ekonomi nasional tidak terperosok dalam krisis berkepanjangan? Tentulah ini persoalan bagi para teknisi di bidang ekonomi. Persoalan skala besar aktual lain dewasa ini adalah terbentuknya himpunan asap yang merisaukan di hampir sebagian besar kawasan hutan Sumatera dan Kalimantan, yang telah menimbulkan aneka masalah nyata di bidang kesehatan,  sosial, ekonomi, hukum, politik dalam negeri dan hubungan internasional.

Bagi teknisi di bidang tertentu (misal bidang penegakan hukum), matematika boleh jadi tidak jelas manfaatnya dalam upaya penyelesaian persoalan skala besar tersebut. Tetapi bagi teknisi di bidang lain (misal pengendalian menuju pelestarian kualitas lingkungan) matematika pasti ada manfaatnya.  Dalam hal terakhir ini, berlakulah diktum atau nasehat, bahwa “mathematics is a substitute to thinking”.  Matematika berperan sebagai pisau untuk membuat analisis yang tajam menuju kepada pemecahan persoalan yang diinginkan.  Dalam konteks itu, seperti diungkapkan oleh Profesor Adhi Susanto, matematika mengisi aspek analitika bidang ilmu-ilmu teknik.

Dihadapkan kepada persoalan nyata dalam masyarakat, apakah yang dapat dikerjakan oleh para teknisi?  Kiranya dapat dibayangkan bahwa para teknisi itu akan merumuskan model bagi persoalan yang akan dipecahkan.  Yang disebut model itu sesungguhnya juga berupa pernyataan tentang persoalan yang dihadapi. Hal itu dikerjakan, antara lain dengan mencermati lingkup persoalannya, membuat kategori berdasarkan bidang kajian dan ilmu, melakukan pemilahan atas variabel serta parameter mana yang primer dan mana yang sifatnya sekunder, serta menetapkan suatu model, yang dinilai memiliki cukup sederhana untuk analisis selanjutnya, tetapi sekaligus cukup realistis untuk menggambarkan keadaan dalam dunia nyata.  “Great engineering is simple engineering”.  Dalam seluruh proses pemodelan ini matematika (logika) membantu meratakan jalan bagi perumusan model yang diinginkan.

Ada tiga butir harus diperhatikan:

1.      hukum-hukum alam yang berlaku;

2.      informasi serta pengalaman di lapangan;

3.      sasaran akhir yang ingin dicapai.

Mengingat hukum-hukum alam umumnya diungkapkan dalam pernyataan yang bersifat pasti serta tak mengandung keragu-raguan akan sebab dan akibatnya, maka model yang diperoleh daripadanya juga bersifat deterministik.  Model ini sering berupa persamaan matematika yang dijabarkan dari azas-azas kekekalan energi, massa dan momentum. Model ini bersifat deterministik. Sebaliknya, ketidak-lengkapan informasi mengenai aspek-aspek tertentu dari realitas, atau tidak tersedianya rumusan yang memadai untuk menyatakan hukum alam yang berlaku bagi realitas tersebut sering mendorong pembentukan model yang bersifat non-deterministik.  Model jenis ini sering dikembangkan dengan menggunakan  konsep peluang atau probabilitas, namun tidak tertutup kemungkinan model itu semata-mata bersifat heuristik atau ad-hoc.

Model juga dapat diklasifikasikan sebagai berbasis persamaan, jika persamaan itu dijabarkan dari hukum-hukum alam, atau diperoleh dalam bentuk persamaan regresi yang diangkat dari pengamatan serta pengukuran intensif di lapangan. Model ini bersifat obyektif. Sebaliknya model diklasifikasikan sebagai berbasis informasi, jika dikembangkan melalui proses penalaran yang adaptif, menggunakan konsep jaringan syaraf tiruan serta memanfaatkan paradigma logika fuzi. Model berbasis informasi sering mengandung unsur-unsur yang sifatnya subyektif, sekurang-kurangnya sampai taraf tertentu, karena tergantung kepada kematangan wawasan serta pemikiran teknisi pengembang model.  Model jenis ini sekarang menjadi makin populer, antara lain karena sifatnya praktis, “the end justifies the means”.  Model berbasis persamaan untuk persoalan yang sama dapat tidak memiliki solusi atau memberi solusi yang tidak ada diterima (misalnya, seharusnya memberi jawab yang positif, tetapi angkanya ternyata negatif).

Selanjutnya dikenal pula model yang berbasis operasional.  Model jenis ini misalnya memanfaatkan paradigma antrian yang terdapat dalam aneka proses di alam dan dalam kegiatan sehari-hari.  Model berbasis operasional secara langsung atau tidak langsung memasukkan waktu sebagai unsur penting dalam pengkajian atas persoalan yang dihadapi. Dalam pelaksanaannya sering digunakan paradigma input-output serta konsep fungsi pemindah (“transfer function”). Secara singkat, model operasional berusaha mensimulasikan proses yang diperkirakan dapat terjadi.

Dilawankan kepada model operasional, dikenal pula model perencanaan, yang memanfaatkan paradigma optimisasi dalam penggunaan sumberdaya. Sasaran utama penyelesaian yang memiliki ciri unik dipandang dari segi kajian atas biaya dan manfaat.

Fakta sebenarnya:

1.      Model hanya mencerminkan akumulasi pengalaman si pengembang model akan persoalan yang dihadapi dalam konteks situasi dalam dunia nyata.  Dalam pengertian ini model hanya merupakan rumusan lain dari data serta informasi yang dimilikinya.

2.      Persoalan itu sendiri sering bersifat terbuka, dengan cacah jawaban, solusi atau penyelesaian dapat lebih dari satu, sekalipun solusi unik (satu dan hanya satu solusi) diinginkan.

3.      Model sering bersifat implisit, -- informasi tersembunyi dibalik relasi-relasi yang terdapat dalam model.  Diungkapkan dalam kalimat lain, dalam model yang telah dikembangkan, dapat saja informasi yang diinginkan tidak ada didalamnya.

4.      Oleh karena itu dalam memecahkan persoalan-persoalan nyata sering harus dilakukan proses iterasi, yaitu proses berulang dengan input sebuah siklus ditentukan oleh output siklus sebelumnya, sehingga pada akhirnya diperoleh model yang menjanjikan penyelesaian yang diinginkan.

3.  Komputasi : alat, metode dan teori

Komputasi adalah kegiatan mendapatkan penyelesaian atau solusi atas persoalan yang dinyatakan dalam model matematis. Secara matematis pada umumnya model mengambil bentuk

f(x) = y,

dengan x = himpunan informasi yang tersembunyi dalam model, berupa besaran-besaran yang nilainya harus ditetapkan agar persoalan nyata dapat dipecahkan, y = himpunan data yang tersedia, berupa besaran-besaran yang nilainya telah diketahui, dan f(.) = operator matematis model tersebut.  Secara singkat dalam komputasi diberikan f(.) serta nilai numeris y, lakukanlah aktivitas untuk memperoleh nilai numeris x, agar f(x) = y dipenuhi.

Secara matematis, x diperoleh melalui operasi invers atas y.  Konkritnya,

x = f^-1(y),

dengan f^-1 operator matematis untuk melaksanakan operasi invers yang dimaksudkan. Masalah utama: dalam praktek tidak banyak operator f dengan f^-1 diketahui atau langsung dapat ditetapkan dengan mudah.  Oleh karena itu proses komputasi sering harus melalui jalan yang tak langsung.

Teknik komputasi adalah perangkat ilmu tentang alat (biasanya sebuah komputer), metode (yang disebut algoritma) dan teori (bukti matematis bahwa komputasi memberi hasil yang benar) yang diperlukan untuk melaksanakan komputasi tersebut.  Sementara itu dalam melakukan kegiatan komputasi untuk menyelesaikan suatu persoalan, seorang teknisi harus memperhatikan interaksi dari alat (komputer yang digunakan), metode (yaitu program yang dimiliki), dan sifat unik dari soal yang dihadapi, sebab dalam praktek soal-soal memiliki tingkat kesulitan yang berbeda-beda:  ada soal yang relatif sangat gampang, ada yang sulit, tetapi juga ada soal yang sangat sulit.

4.  Bilangan, besaran dan fungsi : dari KBBI

Bilangan : “ide yang bersifat abstrak yang bukan simbol atau lambang, yang memberikan keterangan mengenai banyaknya anggauta himpunan”. Selanjutnya dalam KBBI dijelaskan aneka ragam bilangan dalam matematika dan fisika.

Angka : “tanda atau lambang sebagai pengganti bilangan”.  (Selanjutnya dalam KBBI juga diberikan banyak entri tentang aneka macam angka.)

Besaran : “pohon, daunnya dapat dijadikan obat, dan digunakan untuk makanan ulat sutera”.  (Jelas bukan yang dimaksudkan dalam naskah ini).

Perubah : “simbol yang digunakan untuk menyatakan unsur yang tidak tentu di suatu himpunan”.

Fungsi : “besaran yang berhubungan, jika besaran yang satu berubah, maka besaran yang lain juga berubah”.

Komentar:

1.  Seorang awam yang ingin mengkonsultasi KBBI untuk mendapatkan kejelasan mengenai istilah-istilah ini pasti mengalami kesulitan untuk memahaminya.

2.  Membuat kamus, apalagi KBBI, bukan pekerjaan yang mudah.

5.  Meluruskan istilah : Bilangan

Bilangan : “ide yang bersifat abstrak yang digunakan untuk memberikan keterangan tentang sebuah besaran (misalnya cacah, jumlah, berapa banyaknya, berapa besarnya, …).

Dikenal berbagai cara untuk mengkelompokkan sebuah bilangan.  Ada pengelompokan atas dasar bilangan positif dan bilangan negatif. Ada juga pengelompokkan atas dasar bilangan bulat (integer), bilangan real, bilangan exponensial, dan bilangan komplex. 

Bilangan disebut bulat (integer) jika tidak mengandung titik desimal. Bilangan disebut real jika mengandung titik desimal.  Maka "7" adalah bilangan bulat, tetapi "7.", "7.0" dan "-17.453" adalah bilangan real.  Contoh bilangan exponensial adalah "-0.1745310²", yang merupakan ungkapan dalam bentuk bilangan exponensial atas "-17.453".  Dalam print-out komputer sering bilangan ini ditulis "-0.17453E+2", untuk alasan yang sekarang menjadi jelas.

Bilangan disebut komplex jika terdiri atas dua bagian, yaitu (1) bagian real, dan (2) bagian imaginer (komplex).  Contoh: "-3 + 4i",  bagian real adalah "-3", bagian imaginer (komplex) adalah "4". Tentulah bilangan komplex "+2.71-5.38i" terdiri atas bagian real "+2.71" dan bagian imaginer adalah "-5.38".

Baik bagian real maupun bagian imaginer (komplex) adalah dari jenis bilangan bulan atau real. Bagian imaginer dibedakan dari bagian real dengan simbol "i", ditulis dimuka atau dibelakangnya.  Disini i = .  Tentu saja berlaku sifat bahwa i² = -1, i³ = -i, dan i⁴ = +1.

Dalam matematika diajarkan, bahwa sebuah bilangan bulat dapat digambarkan sebagai sebuah titik dalam garis bilangan bulat I, sebuah bilangan real dapat digambarkan sebagai sebuah titik dalam garis bilangan real R, dan sebuah bilangan komplex digambarkan sebagai sebuah titik dalam bidang komplex C.

6.  Meluruskan istilah : Besaran

Rumusan berikut ini dinilai lebih mendekati kebenaran. Besaran : “sifat melekat pada sebuah obyek atau benda (konkrit atau abstrak), yaitu sifat yang terdapat dalam, atau yang tak dapat dipisahkan dari, obyek atau benda tersebut sehingga dapat difahami sebagai salah satu ciri, atribut atau jatidiri obyek atau benda tersebut".

Atas sebuah obyek seorang pengamat dapat mencatat sejumlah besaran. Misalnya, jika obyek itu adalah seorang mahasiswa, beberapa dari besaran itu adalah antara lain (1) nama mahasiswa tersebut, (2) tempat lahir, (3) tanggal lahir, (4) berasal dari SMU mana, (5) dengan NEM berapa, (6) terdaftar di program studi apa, (7) sekarang sudah berada di semester keberapa, (8) berapa sks telah dikumpulkan, (9) index prestasi kumulatif, (10)  alamat tempat tinggal, -- dan sebagainya.

Besaran yang melekat pada sebuah obyek dapat dikatagorikan dalam dua macam, yaitu (1) besaran numeris, dan (2) besaran non-numeris. Umur, index prestasi kumulatif, terdaftar di semester ke berapa, merupakan beberapa contoh dari besaran numeris. Besaran disebut numeris jika atas besaran itu pengamat (dengan satu atau lain cara, biasanya dengan pengukuran) dapat memberikan sebuah bilangan yang sesuai yang dimiliki oleh obyek itu. Dalam bahasa sehari-hari dikatakan bahwa atas besaran tersebut diberikan nilai  yang menerangkan keadan besaran itu pada obyek yang dibicarakan. Untuk komplitnya informasi ditambahkan satuan, yaitu standar atau dasar yang digunakan untuk memberi nilai tersebut. Dengan cara itu keragu-raguan dapat ditekan sekecil-kecilnya, lebih-lebih jika digunakan satuan standar.  Maka atas umur seorang mahasiswa diberikan nilai 20 tahun, dan atas umur seekor ayam diberikan nilai (misalnya) 81.7 hari.   Itu pasti berbeda dari umur 20.013 tahun yang ada pada seorang mahasiswa lain, dan umur 81.6 hari atas seekor ayam yang lain.  Bahkan perbedaan antara 20 tahun dan 20.013 tahun bersifat pasti, yaitu 0.013 tahun.

Atas sebuah besaran non-numeris, per definisi, seorang pengamat tidak dapat memberikan sebuah bilangan numeris sebagai nilai atas besaran tersebut.  Yang dapat diberikan atas besaran non-numeris adalah sebuah penilaian, yang dapat bersifat subyektif. Contoh khas adalah besaran warna (bunga).  Atas besaran ini seorang hanya dapat memberi label sebuah kata sifat yang sepantasnya menggambarkan keadaan dari besaran tersebut, misalnya "hijau". Penilaian "hijau" disebut subyektif karena pengamat lain barangkalai memberi label "hijau agak kemerah-merahan". Apa beda "hijau" dengan "hijau agak kemerah-merahan" , tidak dengan mudah dapat diterangkan. 

Contoh lain adalah besaran index prestasi.  Label yang dapat diberikan kepadanya adalah "A", "B", "C", dan "D", berturut-turut untuk sifat "amat baik", "baik", "cukup" dan "jelek".  Bahwa untuk index prestasi ada label "E" dan "F", ada pertimbangannya. 

Pada kesempatan ini patut dicatat bahwa  pemberian nilai (misalnya) 2.74 atas besaran index prestasi kumulatif adalah didasarkan kepada asumsi bahwa "A" setara dengan 4, "B" dengan 3, "C" dengan 2 dan "D" dengan 1.  Asumsi itu dilengkapi dengan asumsi lain bahwa "E" setara dengan 0.  Landasan pemikiran mengapa demikian tidak disinggung disini.  Namun patut ditanyakan satuan apakah yang dipakai untuk index prestasi itu?

7.  Fungsi : apakah itu?

Fungsi adalah sebuah konsep dalam matematika yang dimaksudkan untuk menggambarkan dengan singkat dan padat ("cekak aos", bahasa Jawa) relasi antara dua buah besaran numeris.  Tentu saja biasanya hal itu dilandasi oleh asumsi bahwa relasi itu ada dan unik, sampai dibuktikan sebaliknya. 

Sering fungsi f dinyatakan pula sebagai sebuah pemetaan ("mapping") antara sebuah nilai dalam besaran yang satu dengan nilai sasaran pada besaran yang lain.  Kisaran nilai dalam besaran yang satu membentuk "domain" D dari fungsi, sedangkan kisaran nilai sasaran pada besaran yang lain disebut "range" R dari fungsi tersebut, dan ditulis

 f = D    R.

Pemetaan disebut satu-satu ("one-to-one mapping"), jika untuk sebuah nilai x dalam "domain" D hanya ada satu dan hanya satu nilai y dalam "range"  R  dari fungsi tersebut.  Oleh karena itu ditulis

 y = f(x).

Terkait dalam pengertian ini adalah gagasan, jika x telah diketahui, maka operasi f(.) atas x menghasilkan y.  Rumusan ini bersifat explisit.

Model matematika

f(x) = y

menampilkan gagasan berbeda.  Operasi f(.) atas x menghasilkan y.  Model matematika biasanya adalah sedemikian, sehingga informasi atas f(.) serta nilai dari y  telah diketahui atau dimiliki, dan dengan bantuan model itu seorang analis ingin menetapkan nilai dari x yang memenuhi syarat bahwa y  = f(x).  Rumusan dalam model matematika senantiasa bersifat implisit.

Kembali kepada persoalan mencari nilai dari .  Persoalan ini secara explisit dalam diungkapkan sebagai persoalan menetapkan y  = x^0.5, dengan x := 10.  (Disini tanda ":=" seyogyanya dibaca "diberi nilai sama dengan").  Sebaliknya, dalam rumusan implisit ingin dicari x agar x² = 10.  Artinya ada operasi f(x)  x² atas x menghasilkan y.  Untuk y  := 10; tetapkan nilai dari x tersebut.

Dalam rumusan implisit ini pada dasarnya ingin dicari fungsi invers f^-1(.), sedemikian rupa sehingga  x =f^-1(y).  Telah ditunjukkan dimuka, bahwa pada dasarnya f^-1(.) dapat diungkapkan sebagai hasil dari operasi explisit g(.) yang dilakukan secara berulang.  Konkritnya,

f^-1(x) = g(g(g(...(g(x) ...))),

dengan g(x)  (x + y/x)/2 dan disini y muncul sebagai sebuah parameter dalam fungsi g(.) dan nilai awalnya diketahui, yaitu y := 10.  Disini  x adalah nilai akar yang dicari. Karena nilai  x tersebut memang tidak diketahui, maka  pada awal mula hanya dibuat taksiran atasnya saja, dan teori menjamin kebenaran hasilnya.

Selanjutnya, apa yang sekarang terjadi?  Persoalan matematika yang bersifat implisit f(x) = y mula-mula telah dirumuskan sebagai persoalan menetapkan fungsi invers x = f^-1(y) (yang bersifat explisit), tetapi kemudian ternyata bahwa fungsi (invers yang bersifat) explisit f^-1(.) itu dapat diungkapkan sebagai hasil penerapan berulang sebuah fungsi explisit g(.)  yang sifatnya unik.

Algoritma adalah istilah baku untuk proses komputasi berulang untuk memecahkan persoalan dalam dunia nyata yang rumusan matematikanya bersifat explisit. Tiap langkah dalam operasi komputasi tersebut merupakan operasi komputasi explisit.  Dalam pelaksanaannya, algoritma tersebut masih harus ditulis dalam sebuah program (dalam suatu bahasa komputer) untuk diinputkan kepada komputer untuk dilaksanaan.  Pada dasarnya algoritma pasti berupa deretan pernyataan yang sengaja dikomunikasikan kepada komputer sebagai gagasan pemecahan sebuah persoalan, sama seperti seorang pembela menyampaikan sebuah orasi = deretan pernyataan dalam sebuah pengadilan sebagai argumentasi untuk membenarkan kliennya.  Algoritma disebut benar jika deretan pernyataan itu memang mengungkapkan gagasan yang benar untuk memecahkan persoalan dalam dunia nyata tersebut.  Dapat juga dikatakan bahwa algoritma merupakan sarana seseorang untuk mengkomunikasikan gagasan kepada komputer, agar komputer membantu orang itu dalam memecahkan persoalan dalam dunia nyata.  Disini komputer berperan sebagai agen pembantu pemecahan persoalan dan disini nyata pula manfaat studi tentang algoritma dan studi tentang bahasa (khususnya bahasa komputer). 

Sebuah algoritma untuk menetapkan nilai akar x dari sebuah bilangan real positif a adalah sebagai berikut:

Inputkan a;

Nyatakan x := a;

Jika belum konvergen, kerjakan terus yang terdapat dibawah ini:

        y := (x + a/x)/2;  x := y;

Tampilkan x;

Selesai.

Namun dapat ditanyakan apakah yang dimaksud dengan "belum konvergen"?  Salah satu kriteria konvergensi adalah x - y 0.000001.  Jadi kalau syarat itu tak dipenuhi maka  dua operasi eksplisit y := (x + a/x)/2 dan x :=y tersebut diatas harus diulangi. Algoritma yang lengkap adalah dibawah ini:

Inputkan a;

Nyatakan x := a;  y := 0;

Jika   x - y   0.000001, kerjakanlah :

        y := (x + a/x)/2;          x := y;

Tampilkan x;

Selesai.